题目内容
（2007•烟台三模）已知向量
=（1，1），向量
与向量
的夹角为
π，且
•
=-1．
（1）求向量
；
（2）若向量
与
=（1，0）的夹角为
，向量
=（cosA，2cos2
），其中A，C为△ABC的内角，且A+C=
π，求|
+
|的最小值．
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| 4 |
| a |
| b |
（1）求向量
| b |
（2）若向量
| b |
| q |
| π |
| 2 |
| p |
| C |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| b |
| p |
分析：（1）设
=（x，y），由
•
=-1，可得x+y=-1．再由
•
=|
||
|cos
，化简可得 x2+y2=1，求得x、y的值，可得
的值．
（2）由条件可得
=（0，-1），又因为
+
=（cosA，cosC），求得|
+
|2=1+
cos（2A+
）．结合A的范围，可得|
+
|取得最小值．
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3π |
| 4 |
| b |
（2）由条件可得
| b |
| b |
| q |
| b |
| q |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| b |
| p |
解答：解：（1）设
=（x，y），
•
=-1，可得x+y=-1． ①…（2分）
又
与
的夹角为
，所以
•
=|
||
|cos
，化简可得 x2+y2=1． ②
由①②解得
，或
，
故
=（-1，0），或
=（-1，0）．…（6分）
（2）由向量
与
垂直知
=（0，-1），由 A+C=
可得 0＜A＜
．…（8分）
又因为
+
=（cosA，2cos2
-1）=（cosA，cosC），
所以|
+
|2=cos2A+cos2C=
+
=1+
[cos2A+cos（
-2A）]
=1+
cos2A-
sin2A=1+
cos（2A+
）．
再由
＜A+
＜
，可得当A+
=π时，|
+
|取得最小值为
=
．
| b |
| a |
| b |
又
| b |
| a |
| 3π |
| 4 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3π |
| 4 |
由①②解得
|
|
故
| b |
| b |
（2）由向量
| b |
| q |
| b |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
又因为
| b |
| q |
| C |
| 2 |
所以|
| b |
| q |
| 1+cos2A |
| 2 |
| 1+cos2C |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
=1+
| 1 |
| 4 |
| ||
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
再由
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| b |
| p |
1-
|
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．
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