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(2007•烟台三模)已知向量
a
=(1,1),向量
b
与向量
a
的夹角为
3
4
π
,且
a
•
b
=-1.
(1)求向量
b
;
(2)若向量
b
与
q
=(1,0)的夹角为
π
2
,向量
p
=(cosA,2cos
2
C
2
),其中A,C为△ABC的内角,且A+C=
2
3
π
,求|
b
+
p
|的最小值.
试题答案
相关练习册答案
分析:
(1)设
b
=(x,y),由
a
•
b
=-1,可得x+y=-1.再由
a
•
b
=|
a
||
b
|cos
3π
4
,化简可得 x
2
+y
2
=1,求得x、y的值,可得
b
的值.
(2)由条件可得
b
=(0,-1),又因为
b
+
q
=(cosA,cosC),求得|
b
+
q
|
2
=1+
1
2
cos(2A+
π
3
).结合A的范围,可得|
b
+
p
|取得最小值.
解答:
解:(1)设
b
=(x,y),
a
•
b
=-1,可得x+y=-1. ①…(2分)
又
b
与
a
的夹角为
3π
4
,所以
a
•
b
=|
a
||
b
|cos
3π
4
,化简可得 x
2
+y
2
=1. ②
由①②解得
x=-1
y=0
,或
x=0
y=-1
,
故
b
=(-1,0),或
b
=(-1,0).…(6分)
(2)由向量
b
与
q
垂直知
b
=(0,-1),由 A+C=
2π
3
可得 0<A<
2π
3
.…(8分)
又因为
b
+
q
=(cosA,2
cos
2
C
2
-1)=(cosA,cosC),
所以|
b
+
q
|
2
=cos
2
A+cos
2
C=
1+cos2A
2
+
1+cos2C
2
=1+
1
2
[cos2A+cos(
4π
3
-2A)]
=1+
1
4
cos2A-
3
4
sin2A=1+
1
2
cos(2A+
π
3
).
再由
π
3
<A+
π
3
<
5π
3
,可得当A+
π
3
=π时,|
b
+
p
|取得最小值为
1-
1
2
=
2
2
.
点评:
本题主要考查两个向量的数量积公式,三角函数的恒等变换及化简求值,属于中档题.
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n
}和等比数列{b
n
}的首项均为1,且公差d>0,公比q>1,则集合{n|a
n
=b
n
}(n∈N
+
)中的元素最多有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(2007•烟台三模)一个多面体的直观图(正视图、侧视图,俯视图)如图所示,M,N分别为A
1
B,B
1
C
1
的中点.
(1)求证:MN∥平面ACC
1
A
1
;
(2)求证:MN⊥平面A
1
BC;
(3)求二面角A-A
1
B-C的大小.
(2007•烟台三模)复数Z
1
=a+2i,Z
2
=-2+i,如果|Z
1
|<|Z
2
|,则实数a的取值范围是( )
A.-1<a<1
B.a>1
C.a>0
D.a<-1或a>1
(2007•烟台三模)对于线性相关系数r,以下说法正确的是( )
A.r只能为正值,不能为负值
B.|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;相反则越小
C.|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越小;相反则越大
D.以上均不对
(2007•烟台三模)若f(x)=a
x
(a>0且a≠1)的反函数g(x)满足:g(
1
2
)<0,则函数f(x)的图象向左平移一个单位后的图象大致是下图中的( )
A.
B.
C.
D.
关 闭
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