题目内容

【题目】已知数列的前项积为,即.

(1)若数列为首项为2016,公比为的等比数列,

①求的表达式;②当为何值时, 取得最大值;

(2)当时,数列都有成立,

求证: 为等比数列.

【答案】(1)①;②12;(2)见解析.

【解析】试题分析:

(1)①由题意知,,化简可得结论;②记,,,,作商,计算出的最大值,再由n是奇数时, 负数,n是偶数时, 是正数,即可得出结论;

(2) , 易得;由得,当, ,两式相除,化简可得,可得,这两式相除,则易得结论.

试题解析:

(1)①由题意知,

所以

②记,,即,,

,当时, ;当时, ,

又因为,所以,当时, ;当时, ,所以的最大值为

此时,而,所以.

,

所以,当时, 取得最大值

(2)当时, ,所以,即,

已知

时,

①②两式相除得,化简得,③

又因为,④

③两式相除得,⑤

⑤式可化为: ,

,所以,所以,

,都成立,

所以为等比数列.

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