题目内容
【题目】已知是自然对数的底数,函数
与
的定义域都是
.
(1)求函数在点
处的切线方程;
(2)判断函数零点个数;
(3)用表示
的最小值,设
,
,若函数
在
上为增函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)函数
只有一个零点;(3)
.
【解析】
(1)先求导数,代入
得
为直线的斜率,利用点斜式可求直线方程;
(2)先求导数,结合导数的符号,判定零点的个数;
(3)为增函数,转化为
恒成立,然后利用分离参数法求解.
(1)∵,∴切线的斜率
,
.
∴函数在点
处的切线方程为
.
(2)∵,
,∴
,
,
,
∴存在零点
,且
.∵
,
∴当时,
;当
时,由
得
.∴
在
上是减函数.
∴若,
,
,则
.∴函数
只有一个零点
,且
.
(3)解:,故
,
∵函数只有一个零点
,∴
,即
.∴
.
∴在
为增函数
在
,
恒成立.
当时
,即
在区间
上恒成立.
设,只需
,
,
在
单调递减,在
单调递增.
的最小值
,
.
当时,
,由上述得
,则
在
恒成立.
综上述,实数的取值范围是
.
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