题目内容

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 2Sn=an+1﹣2n+1+1,n∈N* , 且a1 , a2+5,a3成等差数列.
(1)求a1
(2)证明 为等比数列,并求数列{an}的通项;
(3)设bn=log3(an+2n),且Tn= ,证明Tn<1.

【答案】
(1)解:在

令n=1,得 ,即a2=2a1+3,①

令n=2,得 ,即a3=6a1+13,②

又2(a2+5)=a1+a3,③

则由①②③解得a1=1


(2)证明:当n≥2时,由

得到

….

由(1)得a2=5,则

是以 为首项, 为公比的等比数列,

解得


(3)解:∵ ,则

=

∴Tn<1


【解析】(1)令n=1,得a2=2a1+3,令n=2,得a3=6a1+13,再由2(a2+5)=a1+a3 , 能求出a1的值.(2)当n≥2时,推导出 ,从而 ,由此能证明 是以 为首项, 为公比的等比数列,从而能求出数列{an}的通项.(3)推导出 ,由此利用裂项求和法能证明Tn<1.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式(及其变式)的相关知识,掌握通项公式:

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