题目内容
【题目】已知数列{an}是等比数列,a1=2,a3=18.数列{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n﹣2 , Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8 , 其中n=1,2,3,….试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.
【答案】
(1)解:设{an}的公比为q,由a3=a1q2得q2= =9,q=±3.
①当q=﹣3时,a1+a2+a3=2﹣6+18=14<20,
这与a1+a2+a3>20矛盾,故舍去.
②当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意.
∴an=a1qn﹣1=2×3n﹣1
设数列{bn}的公差为d,由b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26,
得4b1+ d=26,结合b1=2,解之得d=3,
所以bn=bn+(n﹣1)d=2+3(n﹣1)=3n﹣1
综上所述,数列{an},{bn}的通项公式分别为an=2×3n﹣1、bn=3n﹣1;
(2)解:∵b1,b4,b7,…,b3n﹣2组成以3d为公差的等差数列,
∴Pn=nb1+ 3d=
n2﹣
n;
同理可得:b10,b12,b14,…,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,且b10=29,
∴Qn=nb10+ 2d=3n2+26n.
因此,Pn﹣Qn=( n2﹣
n)﹣(3n2+26n)=
n(n﹣19).
所以对于正整数n,当n≥20时,Pn>Qn;当n=19时,Pn=Qn;当n≤18时,Pn<Qn.
【解析】(1)由等比数列通项公式,结合题意算出数列{an}的公比q=±3.讨论可得当q=﹣3时与题意矛盾,故q=3可得an=2×3n﹣1 . 由此得到{bn}的前4项和等于a1+a2+a3=26,利用等差数列的通项公式算出公差d=3,得bn=3n﹣1;(2)根据等差数列的性质,可得b1 , b4 , b7 , …,b3n﹣2和b10 , b12 , b14 , …,b2n+8分别组成以3d、2d为公差的等差数列,由等差数列求和公式算出Pn= n2﹣
n、Qn=3n2+26n.作差后,因式分解得Pn﹣Qn=
n(n﹣19),结合n为正整数加以讨论,即可得到Pn与Qn的大小关系,从而使本题得到解决.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.
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