题目内容
【题目】已知函数为偶函数,且
.
(1)求的值,并确定
的解析式;
(2)若且
),是否存在实数
,使得
在区间
上为减函数.
【答案】(1)或
,
(2)存在;
【解析】
(1)根据函数为偶函数,且
可知
且
为偶数,即可求得
的值,进而确定
的解析式.
(2)将(1)所得函数的解析式代入即可得
的解析式.根据复合函数单调性对底数
分类讨论,即可求得
在区间
上为减函数时实数
的取值范围.
(1)因为
则,解不等式可得
因为
则或
或
又因为函数为偶函数
所以为偶数
当时,
,符合题意
当时,
,不符合题意,舍去
当时,
,符合题意
综上可知, 或
此时
(2)存在.理由如下:
由(1)可得
则且
当时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知,
在
上为增函数且满足
在
上恒成立
即解不等式组得
当时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知,
在
上为减函数且满足
在
上恒成立
即解不等式组得
综上可知,当或
时,
在
上为减函数
所以存在实数,满足
在
上为减函数
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