Question

【题目】已知函数满足．

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求a的值；

（Ⅲ）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）或；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）当时等价于解出即可。

（Ⅱ）的解集中有且只有一个元素，等价于有且仅有一解的问题。

（Ⅲ）当时，，所以在上单调递减函数，在区间上的最大值与最小值分别为，，即转化成对任意 恒成立的问题。

（Ⅰ）由题意可得，得，解得。

（Ⅱ）方程有且仅有一解， 等价于有且仅有一解，且，

当时，符合题意；

当时，此时满足题意，

综上，或。

（Ⅲ）当时，，

所以在上单调递减

函数在区间上的最大值与最小值分别为，，

即对任意 恒成立，

因为， 所以函数在区间上单调递增，

所以时，y有最小值，

由，得

故的取值范围为