Question

过双曲线x²-y²=1的右顶点作直线与双曲线有且只有一个公共点的直线有（　　）

• A、4条
• B、3条
• C、2条
• D、1条

Answer 1

分析：根据双曲线的几何性质，经过双曲线的右顶点且与实轴垂直的直线必定与双曲线有且只有一个公共点．当经过点A的直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线公共点也有且只有一个．由此结合直线方程与双曲线方程的联解加以验证，可得满足条件的直线共有3条．

解答：解：设题中满足条件的直线为l，
∵双曲线方程为x²-y²=1，
∴a²=b²=1，可得右顶点为A（1，0）．
①当直线l经过点A与x轴垂直时，直线l与双曲线x²-y²=1有唯一的公共点，符合题意；
②当直线l经过点A，且与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2-y2=1

消去y，得（k²-1）x²-2k²x+k²+1=0，
∵直线l与双曲线有且只有一个公共点，∴k²-1=0或△=0．
由于△=（-2k²）²-4（k²-1）（k²+1）=4＞0恒成立，
∴k²-1=0，得k=±1，相应的直线l方程为y=x-1或y=1-x．
综上所述，存在3条直线l，使得l经过双曲线x²-y²=1的右顶点作直线与双曲线有且只有一个公共点．
故选：B

点评：本题给出双曲线方程，求经过双曲线的右顶点且与双曲线只有一个公共点的直线的条数．着重考查了直线的方程、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．