题目内容
【题目】已知二次函数,设
是函数
在
上的最大值.
(1)当时,求
关于
的解析式;
(2)若对任意的,恒有
,求满足条件的所有实数对
.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:本题表面上是新定义问题,实质上新定义仅仅是最大值的另一种说法,(1)问题就是求在区间
上的最大值,由于绝对值符号里面的式子
是二次的,对称轴是
,因此其在区间
上递减,从而只要考虑
和
的大小可得结论;(2)首先要求
,从(1)的研究知,须按
对称轴与区间的关系分类,当
或
时,
在区间
上单调,因此有
,
,下面对此式进行放缩,有
,研究这里三个不等号取等号的条件可得
,当
时,还需分类讨论到底有
还是有
,(按
的大小分类,也即1,2哪个离对称轴远),同上进行放缩以求得取最小值时的
,比较
的最小值可得
.
试题解析:(1)当时,
,则
在
上单调递减,故
在
上的值域为
.
从而;
(2)函数的对称轴为
,下面讨论
的大小关系来确定
的单调性.
①当或
时,
在
上单调,又
,
,
不等号1,2,3取到等号的条件分别为或
,
从而或
②当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,又
,
,
ⅰ)当时,
不等号1,2,3取到等号的条件分别为,故
.
ⅱ)当时,
不等号1,2,3取到等号的条件分别为,故
,这与
矛盾.
综上所述,当且仅当,
时,对任意的
,恒有
,
故满足条件的所有实数对为
.
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练习册系列答案
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参加书法社团 | 未参加书法社团 | |
参加演讲社团 | 8 | 5 |
未参加演讲社团 | 2 | 30 |
(I)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(II) 在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学,3名女同学
,现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求
被选中且
未被选中的概率。