题目内容

（2012•福建模拟）（1）选修4-2：矩阵与变换
已知向量
1
-1
在矩阵M=
1m
01
变换下得到的向量是
0
-1
．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为(4
2
，
π
4
)，曲线C的参数方程为
x=1+
2
cosα
y=
2
sinα
（α为参数）．
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设实数a，b满足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．
分析：（1）（Ⅰ）由条件求得
1-m
-1
=
0
-1
，从而求得m 的值．
（Ⅱ）先求得，M-1=
1-1
01
，设曲线y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'），由矩阵变换的法则得
x=x′+y′
y=y′
代入曲线y2-x+y=0得y'2=x'，由此得出结论．
（2）（Ⅰ）由点M的极坐标为(4
2
，
π
4
)得点M的直角坐标为（4，4），由此求得直线OM的直角坐标方程．
（Ⅱ）由曲线C的参数方程化为普通方程，可得表示一个圆，求出M到圆心的距离，减去半径，即得所求．
（3）（Ⅰ）由2a+b=9得|6-b|=2|a|．不等式化为3|a|＜3，即|a|＜1，从而解得a的取值范围．
（Ⅱ）由 a，b＞0，且z=a2b，利用平均值不等式求得z的最大值．
解答：（1）解：（Ⅰ）因为
1m
01
1
-1
=
1-m
-1
，
所以，
1-m
-1
=
0
-1
，即m=1．…（3分）
（Ⅱ）因为M=
11
01
，所以M-1=
1-1
01
．…（4分）
设曲线y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'）．
由
x′
y′
=
1-1
01
x
y
=
x-y
y
，…（5分）
所以
x-y=x′
y=y′
得
x=x′+y′
y=y′
代入曲线y2-x+y=0得y'2=x'．…（6分）
由（x，y）的任意性可知，曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为y2=x．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(4
2
，
π
4
)得点M的直角坐标为（4，4），
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程
x=1+
2
cosα
y=
2
sinα
（α为参数）
化为普通方程为（x-1）2+y2=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=
2
．
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-
2
．…（7分）
（3）解：（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围-1＜a＜1．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以z=a2b=a•a•b≤(
a+a+b
3
)3=(
2a+b
3
)3=33=27，…（6分）
当且仅当a=b=3时，等号成立．
故z的最大值为27．…（7分）
点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识；考查参数方程、极坐标方程等基础知识；考查绝对不等式、不等式证明等基础知识．考查数形结合思想考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
练习册系列答案
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.
x
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.
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3
2
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a
=(3，1)，
b
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a
⊥
b
，则x=
1
1
．
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1
4
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