题目内容

如图所示,已知圆O:x2+y2=1,直线l:y=kx+b(b>0)是圆的一条切线,且l与椭圆交于不同的两点A、B.
(1)若△AOB的面积等于,求直线l的方程;
(2)设△AOB的面积为S,且满足,求的取值范围.

【答案】分析:解:(1)由三角形的面积公式,要分别求底即弦长,要求高即点到直线的距离.(2)由(1)知△AOB的面积模型,即有可得而设A(x1,y1),B(x2,y2)由韦达定理,转化为关系k2的函数求解.
解答:解:(1)由题意可知:(1分)

得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0(2分)∴(3分)
而O到直线AB的距离为(4分)
则有
得k=±(15分)
所求直线的方程为.(6分)
(2)由题意可知
(8分)
设A(x1,y1),B(x2,y2
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b(10分)
根据韦达定理得:
代入上式得:.(13分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,弦长公式,点到直线的距离以及建立函数模型的能力.
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