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精英家教网如图所示,已知圆O:x2+y2=1,直线l:y=kx+b(k>0,b>0)是圆的一条切线,且l与椭圆
x2
2
+y2=1
交于不同的两点A,B.
(1)若弦AB的长为
4
3
,求直线l的方程;
(2)当直线l满足条件(1)时,求
OA
OB
的值.
分析:(1)由题意知b=
1+k2
,又
y=kx+b
x2+2y2-2=0
,得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,由此解得k=1或k=-1(舍).所以求直线l的方程为x-y+
2
=0.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),∴
OA
OB
=x1x2+y1y2=2x1x2+
2
(x1+x2) +2
,根据韦达定理得:x1+x2=-
4
3
2
x1x2=
2
3
,由此得
OA
OB
=
2
3
解答:解:(1)由题意知:
|b|
1+k2
=1
,∴b=
1+k2

y=kx+b
x2+2y2-2=0
,得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,
|AB|=
1+k2
2
2
|k|
1+2k2
=
4
3

解得k=1或k=-1(舍).
所以求直线l的方程为x-y+
2
=0.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),∴
OA
OB
=x1x2+y1y2=2x1x2+
2
(x1+x2) +2

根据韦达定理得:x1+x2=-
4
3
2
x1x2=
2
3

代入上式,得
OA
OB
=
2
3
点评:本题考查圆锥曲线和直线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.
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