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精英家教网如图所示,已知圆O:x2+y2=1,直线l:y=kx+b(b>0)是圆的一条切线,且l与椭圆
x2
2
+y2=1
交于不同的两点A、B.
(1)若△AOB的面积等于
2
3
,求直线l的方程;
(2)设△AOB的面积为S,且满足
6
4
≤S≤
2
6
7
,求
OA
OB
的取值范围.
分析:解:(1)由三角形的面积公式,要分别求底即弦长,要求高即点到直线的距离.(2)由(1)知△AOB的面积模型,即有
6
4
1
2
×
1+k2
×
2
2
|k|
1+2k2
×
|b|
1+k2
2
7
6
可得
1
2
k2≤3
而设A(x1,y1),B(x2,y2)
OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)2
由韦达定理,转化为关系k2的函数求解.
解答:解:(1)由题意可知:
|b|
1+k2
=1
b=
1+k2
(1分)
y=kx+b
x2+2y2-2=0

得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0(2分)∴|AB|=
1+k2
×
2
2
|k|
1+2k2
(3分)
而O到直线AB的距离为
|b|
1+k2
=1
(4分)
则有
1
2
×
1+k2
×
2
2
|k|
1+2k2
×
|b|
1+k2
=
2
3

得k=±1(15分)
所求直线的方程为x-y+
2
=0
x+y-
2
=0
.(6分)
(2)由题意可知
6
4
1
2
×
1+k2
×
2
2
|k|
1+2k2
×
|b|
1+k2
2
7
6

1
2
k2≤3
(8分)
设A(x1,y1),B(x2,y2
OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)2
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b(10分)
根据韦达定理得:x1+x2=-
4kb
1+2k2
x1x2=
2b2-2
1+2k2

代入上式得:
OA
OB
=
1+k2
1+2k2
4
7
OA
OB
3
4
.(13分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,弦长公式,点到直线的距离以及建立函数模型的能力.
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