题目内容

x2 |
2 |
(1)若△AOB的面积等于
2 |
3 |
(2)设△AOB的面积为S,且满足
| ||
4 |
2
| ||
7 |
OA |
OB |
分析:解:(1)由三角形的面积公式,要分别求底即弦长,要求高即点到直线的距离.(2)由(1)知△AOB的面积模型,即有
≤
×
×
×
≤
可得
≤k2≤3而设A(x1,y1),B(x2,y2)
•
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)2由韦达定理,转化为关系k2的函数求解.
| ||
4 |
1 |
2 |
1+k2 |
2
| ||
1+2k2 |
|b| | ||
|
2 |
7 |
6 |
1 |
2 |
OA |
OB |
解答:解:(1)由题意可知:
=1∴b=
(1分)
又
得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0(2分)∴|AB|=
×
(3分)
而O到直线AB的距离为
=1(4分)
则有
×
×
×
=
得k=±1(15分)
所求直线的方程为x-y+
=0或x+y-
=0.(6分)
(2)由题意可知
≤
×
×
×
≤
得
≤k2≤3(8分)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴
•
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b(10分)
根据韦达定理得:x1+x2=-
•x1x2=
代入上式得:
•
=
∴
≤
•
≤
.(13分)
|b| | ||
|
1+k2 |
又
|
得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0(2分)∴|AB|=
1+k2 |
2
| ||
1+2k2 |
而O到直线AB的距离为
|b| | ||
|
则有
1 |
2 |
1+k2 |
2
| ||
1+2k2 |
|b| | ||
|
2 |
3 |
得k=±1(15分)
所求直线的方程为x-y+
2 |
2 |
(2)由题意可知
| ||
4 |
1 |
2 |
1+k2 |
2
| ||
1+2k2 |
|b| | ||
|
2 |
7 |
6 |
得
1 |
2 |
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴
OA |
OB |
根据韦达定理得:x1+x2=-
4kb |
1+2k2 |
2b2-2 |
1+2k2 |
代入上式得:
OA |
OB |
1+k2 |
1+2k2 |
4 |
7 |
OA |
OB |
3 |
4 |
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,弦长公式,点到直线的距离以及建立函数模型的能力.

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