Question

(本题满分12分)若定义在上的函数同时满足下列三个条件：
①对任意实数均有成立；
②； ③当时，都有成立。
（1）求，的值；
（2）求证：为上的增函数
（3）求解关于的不等式.

Answer 1

（1）=0， ；（2）证明：见解析；（3）.

本试题主要是考查了函数的单调性的证明，以及函数与不等式的求解，赋值法求解函数的值。
（1）令得=0，令，得
（2）则，则；利用已知关系式得到证明
（3）在第二问的基础上可知得到，转换不等式得到
，进而求解得到结论。
解：（1）令得=0，令，得
（2）证明：设则，则；，故,为R上的增函数
（3）由已知得原不等式转化为，结合为R上的增函数得：
，解得  .故原不等式的解集为.