Question

12．已知函数y=f（x）关于（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）对称，a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1），设b_n=$\frac{4}{4{a}_{n}-1}$，T_n=b₁²+b₂²+b₃²+…+b_n²，S_n=32-$\frac{16}{n}$，比较T_n与b_n的大小．

Answer 1

分析 根据函数的对称性得到f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$，利用倒序相加法求出a_n，利用放缩法证明T_n与b_n的大小关系即可．

解答 解：∵函数y=f（x）关于（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）对称，
∴函数f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$，
∵a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）（n∈N^*），①
∴${a}_{n}=f（1）+f（\frac{n-1}{n}）+f（\frac{n-2}{n}）+…+f（\frac{1}{n}）+f（0）$，②
由（Ⅰ），知f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$
∴①+②，得2a_n=$\frac{1}{2}$（n+1），∴${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{n+1}{4}$．
∴b_n=$\frac{4}{4{a}_{n}-1}$=$\frac{4}{4×\frac{n+1}{4}-1}$=$\frac{4}{n}$，
则T_n=b₁²+b₂²+b₃²+…+b_n²=16（1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$）≤16[1+$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n（n-1）}$]=16（1+1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=16（2-$\frac{1}{n}$）=32-$\frac{16}{n}$=S_n，
∴T_n≤b_n．

点评 本题主要考查函数与数列的综合，根据函数的对称性得到f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$，以及利用倒序相加法进行求和，利用放缩法以及裂项法是证明不等式的基本方法．