题目内容
【题目】如图,在海岸线一侧
处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在
上设立了
两个报名点,满足
中任意两点间的距离为
.公司拟按以下思路运作:先将
两处游客分别乘车集中到
之间的中转点
处(点
异于
两点),然后乘同一艘轮游轮前往
岛.据统计,每批游客
处需发车2辆,
处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费
元,游轮每千米耗费
元.(其中
是正常数)设∠
,每批游客从各自报名点到
岛所需运输成本为
元.
(1) 写出关于
的函数表达式,并指出
的取值范围;
(2) 问:中转点距离
处多远时,
最小?
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)在中,求出相关的角,利用正弦定理,求出
,表示出所需运输成本为
元关于
的函数表达式;(2)利用函数表达式,求出函数的导数,通过导数的符号,判断单调性求解函数的最值.
试题解析:(1) 由题知在△ACD中,∠CAD=,∠CDA=α,AC=10,∠ACD=
-α.
由正弦定理知,
即CD=, AD=
,
所以S=4aAD+8aBD+12aCD= (12CD-4AD+80)a
=a+80a =
a+60a
(2) S′=20 ,
令S′=0得cos α=
当cos α>时,S′<0; 当cos α
<时,S′>0,
所以当cos α=时,S取得最小值,
此时sin α=,AD=
=5+
,
所以中转点C距A处km时,运输成本S最小.
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