题目内容
【题目】在的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为
.
(1)求展开式的常数项:
(2)求展开式中所有奇数项的系数和.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据题意,由二项式定理可得,解可得
,即可得其展开式的通项,令
,解可得
,将
的值代入通项分析可得答案;
(2)根据题意,设其展开式中奇数项的系数为、
、
、
,偶数项的系数为
、
、
、
,进而令
可得:
,令
可得:
,联立两式计算可得答案.
解:(1)根据题意,在的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,
则,解可得
,
则的二项展开式的通项为
,
令,解可得
,
则有,即其常数项为112;
(2)在的二项展开式中,通项为
,
设奇数项的系数为、
、
、
,偶数项的系数为
、
、
、
,
在中,令
可得:
,①
令可得:
,②
①②可得:
.
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