题目内容
【题目】已知椭圆
：
过点
，且它的焦距是短轴长的
倍.
（1）求椭圆的方程.
（2）若
，
是椭圆上的两个动点（，两点不关于
轴对称），
为坐标原点，
，
的斜率分别为
，
，问是否存在非零常数
，使当
时，
的面积
为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在这样的常数
，此时
.
【解析】
（1）将点
的坐标代入椭圆方程，结合
和
列方程组，解方程组求得椭圆的标准方程.（2）设直线
的方程为
和
两点的坐标，将两点两点坐标代入
，化简得到
①.联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离公式和弦长公式求得三角形
的面积的表达式，结合①解得
和
的值.
解：（1）因为椭圆
：
过点，
所以
，
又因为该椭圆的焦距是短轴长的
倍，所以，从而
.
联立方程组
，解得
，所以.
（2）设存在这样的常数，使，
的面积为定值.设直线的方程为，点
，点
，则由知
，
，所以.①
联立方程组
，消去
得
.
所以
，
点
到直线的距离
，
的面积
.④
将②③代入①得
，
化简得
，⑤
将⑤代入④得
，
要使上式为定值，只需
，
即需
，从而
，此时
，
，
所以存在这样的常数，此时.
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