题目内容
(本小题满分12分)
已知数列的前n项和为 (n∈N*),且.数列满足,,,n=2,3,….
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的通项公式;
(Ⅲ)证明:对于 ,.
已知数列的前n项和为 (n∈N*),且.数列满足,,,n=2,3,….
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的通项公式;
(Ⅲ)证明:对于 ,.
(Ⅰ)因为 2Sn=(n+1)an,
所以 2Sn+1=(n+2)an+1.
两式相减得 2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,即 . …………… 2分
当n≥2时,==.
又a1=2满足上式,故 =2n(n∈N*). …………………………………… 4分
(Ⅱ)因为 =(n≥2),b=0,b=2,
故当n≥3时,有 =b=2,
所以 =(n-1)(n≥3). ……………………………………………… 8分
显然 b=0,b=2 满足上式,
故 {} 的通项公式为 =(n-1). …………………………………… 10分
(Ⅲ)
当k≥2时,.
故 …………………………………………………… 11分
注意到 b1=0,
则 (n∈N*).… 12分
所以 2Sn+1=(n+2)an+1.
两式相减得 2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,即 . …………… 2分
当n≥2时,==.
又a1=2满足上式,故 =2n(n∈N*). …………………………………… 4分
(Ⅱ)因为 =(n≥2),b=0,b=2,
故当n≥3时,有 =b=2,
所以 =(n-1)(n≥3). ……………………………………………… 8分
显然 b=0,b=2 满足上式,
故 {} 的通项公式为 =(n-1). …………………………………… 10分
(Ⅲ)
当k≥2时,.
故 …………………………………………………… 11分
注意到 b1=0,
则 (n∈N*).… 12分
略
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