题目内容

（2012•普陀区一模）给出问题：已知△ABC满足a•cosA=b•cosB，试判断△ABC的形状，某学生的解答如下：
（i）a•
b2+c2-a2
2bc
=b•
a2+c2-b2
2ac
?a2（b2+c2-a2）=b2（a2+c2-b2）?（a2-b2）•c2=（a2-b2）（a2+b2）?c2=a2+b2
故△ABC是直角三角形．
（ii）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=cos2B?A=B
故△ABC是等腰三角形．
综上可知，△ABC是等腰直角三角形．
请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果
等腰或直角三角形
等腰或直角三角形
．
分析：（i）利用余弦定理将角化为边，即可得到结论；（ii）由正弦定理，将边化为角，可得结论．
解答：解：不正确，解答的两种方法都可得出结论，但都不完整．
（i）a•
b2+c2-a2
2bc
=b•
a2+c2-b2
2ac
?a2（b2+c2-a2）=b2（a2+c2-b2）?（a2-b2）•c2=（a2-b2）（a2+b2）?c2=a2+b2或a2-b2=0，故△ABC是等腰或直角三角形；
（ii）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=sin2B?A=B或A+B=
π
2
，故△ABC是等腰或直角三角形；
故答案为：等腰或直角三角形
点评：本题考查三角形形状的判断，解题的关键是利用余弦定理、正弦定理进行边角互化．
练习册系列答案
相关题目
（2012•普陀区一模）
e
1，
e
2是两个不共线的向量，已知
AB
=2
e
1+k
e
2，
CB
=
e
1+3
e
2
CD
=2
e
1-
e
2，且A，B，D三点共线，则实数k=
-8
-8
．
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x2
4
+y2=1}，N={x|
x-3
x+1
≤0}，则集合{x|(x+
3
2
)2+y2=
1
4
}可表示为（　　）
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（1）求常数p的值和数列{an}的通项公式；
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，试写出数列
{bn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得
Tn+1
Tn
=
11
3
？若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由．
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（2012•普陀区一模）函数y=
1
log
1
2
|x-1|
的定义域是
（0，1）∪（1，2）
（0，1）∪（1，2）
．

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