Question

（2011•遂宁二模）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数，使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，现给出下列命题：
①函数f(x)=(

1

2

)x为R上的1高调函数；
②函数f （x）=sin 2x为R上的高调函数；
③如果定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）；
④如果定义域为R的函教f （x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是[一1，1]．
其中正确的命题是

②③④

 （写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：①函数f(x)=(

1

2

)x为R上的递减函数；
②由正弦函数知函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
③易知f（-1）=f（1），故得m≥1-（-1），即m≥2；
④定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，画出函数图象，可得4≥3a²-（-a²），
从而可得结论

解答：解：对于①，∵函数f(x)=(

1

2

)x为R上的递减函数，故①不正确，
②∵sin2（x+π）≥sin2x，∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确，
③如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，∵f（-1）=f（1），∴m≥1-（-1），∴m≥2，故③正确，
④f（x）=|x-a²|-a²的图象如图，∴4≥3a²-（-a²），∴-1≤a≤1，故④正确．
故答案为：②③④

点评：本题考查基本初等函数的性质，考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，是一个新定义问题，注意对于条件中所给的一个新的概念，要注意理解．