题目内容
（2011•遂宁二模）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设数列{bn}满足an(2bn-1)=1，记Tn为数列{bn}的前n项和．求证：2Tn+1＜log2（an+3）
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设数列{bn}满足an(2bn-1)=1，记Tn为数列{bn}的前n项和．求证：2Tn+1＜log2（an+3）
分析：（I）n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2．n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0由此能求出an．
（II）根据数列{bn}满足an(2bn-1)=1，可得bn=log2
，从而Tn=b1+b2+…+bn=log2(
×
×…×
)，利用分析法证明．要证2Tn+1＜log2（an+3），即证2log2(
×
×…×
)+1＜log2（an+3），即证
＜1，构造函数cn=
，可得{cn}是单调递减数列，即可证出结论．
（II）根据数列{bn}满足an(2bn-1)=1，可得bn=log2
| 3n |
| 3n-1 |
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
2(
| ||||||
| 3n+2 |
2(
| ||||||
| 3n+2 |
解答：（I）解：n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2．
n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=3，
∴{an}为等差数列，
∵a1=2，
∴an=3n-1．
（II）证明：∵数列{bn}满足an(2bn-1)=1，
∴bn=log2
∴Tn=b1+b2+…+bn=log2(
×
×…×
)
要证2Tn+1＜log2（an+3），即证2log2(
×
×…×
)+1＜log2（an+3）
即证(
×
×…×
)2＜
即证
＜1
令cn=
，
∴
=
＜1
∵cn＞0，∴cn+1＜cn，
∴{cn}是单调递减数列
∴cn≤c1=
=
＜1
∴cn=
＜1
故2Tn+1＜log2（an+3）．
n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=3，
∴{an}为等差数列，
∵a1=2，
∴an=3n-1．
（II）证明：∵数列{bn}满足an(2bn-1)=1，
∴bn=log2
| 3n |
| 3n-1 |
∴Tn=b1+b2+…+bn=log2(
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
要证2Tn+1＜log2（an+3），即证2log2(
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
即证(
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
| 3n+2 |
| 2 |
即证
2(
| ||||||
| 3n+2 |
令cn=
2(
| ||||||
| 3n+2 |
∴
| cn+1 |
| cn |
| 9n2+18n+9 |
| 9n2+21n+10 |
∵cn＞0，∴cn+1＜cn，
∴{cn}是单调递减数列
∴cn≤c1=
2×(
| ||
| 3×1+2 |
| 9 |
| 10 |
∴cn=
2(
| ||||||
| 3n+2 |
故2Tn+1＜log2（an+3）．
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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