题目内容
【题目】若函数
的定义域为
，满足对任意
，
，有
，则称为
型函数；若函数
的定义域为，满足对任意
，
恒成立，且对任意，，有
，则称为对数型函数．
（1）当函数
时，判断是否为型函数，并说明理由．
（2）当函数
时，证明：是对数型函数．
（3）若函数是型函数，且满足对任意，有
，问是否为对数型函数？若是，加以证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
不是
型函数，详见解析（2）证明见解析（3）是对数型函数，证明见解析
【解析】
（1）由
，作差化简，得到当
，
同号时，此时
，即可得到结论；
（2）因为
恒成立，可利用分析法和函数的新定义，作出判定和证明．
（3）由的新定义和
，得到
，进而得到
，再根据对数的运算性质，即可求解．
（1）由题，函数，
则
当，同号时，此时，
此时不满足
，所以不是型函数．
（2）因为恒成立，
要证对任意，
，
，
即证对任意，，
，
即证对任意，，
．
因为
，
所以
是对数型函数
（3）函数是对数型函数．证明如下：
因为是型函数，所以对任意，，有，
又由对任意
，有，所以，
所以
，所以，
所以
，
所以是对数型函数．
【题目】为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27 cm及以上的树苗为优质树苗．
（1）求图中a的值；
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：
A试验区 | B试验区 | 合计 | |
优质树苗 | 20 | ||
非优质树苗 | 60 | ||
合计 |
将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；
（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4棵，其中优质树苗的棵数为X，求X的分布列和数学期望EX．
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
．）
【题目】某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表，经过进一步统计分析，发现y与x具有线性相关关系．
价格x（元/kg） | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
日需求量y（kg） | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
（1）根据上表给出的数据，求出y与x的线性回归方程
；
（2）利用（1）中的回归方程，当价格
元/kg时，日需求量y的预测值为多少？
（参考公式：线性回归方程，其中
，
．）
