题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求在区间的最大值;
(2)若函数有两个极值点,求证:.
【答案】(1)当时,的最大值为;当时,的最大值为;(2)证明见解析;
【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,由函数单调性即可容易求得最值;
(2)根据极值点的定义,求得之间的关系以及参数的范围,构造函数,将问题转化为求该函数的最值问题,再进行适当放缩即可证明.
(1)由已知得的定义域为,
,
当时,,在上单调递增,的最大值为.
当时,在上单调递增,在单调递减,
的最大值为.
综上,当时,的最大值为,
当时,的最大值为.
(2),则的定义域为,
.
若有两个极值点,则方程的判别式
且,因而,
又,∴,即,
设,其中,
由 得,由于,
∴在上单调递增,在上单调递减,
即的最大值为,
从而成立.
练习册系列答案
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【题目】2017年冬,北京雾霾天数明显减少,据环保局统计三个月的空气质量,达到优良的天数超过天,重度污染的天数仅有天,主要原因是政府对治理雾霾采取有效措施.如:(1)减少机动车尾气排放(2)实施煤改电或煤改气工程(3)关停了大量的排污企业(4)部分企业季节性停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天然气的使用从某乡镇随机抽取户,进行月均用气量调查,得到的用气量数据均在区间内,表如下
分组 | 频数 | 频率 |
14 | 0.14 | |
55 | 0.55 | |
4 | 0.04 | |
2 | 0.02 | |
合计 | 100 | 1 |
(1)求和值,若同组内的每个数据用该组区间中点值代替,估计该乡镇每户平均用气量;
(2)从样本调查的用气量和的用户组中任选2户,进行燃气使用满意度调查,求2户用气量处于不同区间的概率.