Question

5．抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相较于点M，与x轴相交于点N，点P是线段MN上的一动点，过点P作PE⊥CP交x轴于点E．
（1）直接写出抛物线的顶点M的坐标是（1，4）；
（2）当点E与点O（原点）重合时，求点P的坐标；
（2）点P从M运动到N的过程中，求动点E的运动的路径长．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线y=-x²+2x+3与对称轴x=1的交点坐标即可；
（2）设出P点坐标（1，y）其中（0≤y≤4），利用$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{CP}$=0，列出方程，求出点P的坐标；
（3）设出点E（x，0），P（1，y），利用$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{CP}$=0，得出x与y的解析式，求出x的最值，得出动点E的运动路径长．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+2x+3，对称轴是x=1，当x=1时，y=4；
∴抛物线的顶点M的坐标是（1，4），故答案为：（1，4）；
（2）当点E与点O（原点）重合时，设P（1，y），其中（0≤y≤4），
又点E（0，0），C（0，3），
∴$\overrightarrow{PE}$=（-1，-y），
$\overrightarrow{CP}$=（1，y-3），
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{CP}$=-1×1+（-y）×（y-3）=0，
即y²-3y+1=0，
y=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，y=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
∴点P的坐标为（1，$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$）或（1，$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）；
（3）根据题意，设点E（x，0），P（1，y），其中（0≤y≤4），
又点C（0，3），
∴$\overrightarrow{PE}$=（x-1，-y），
$\overrightarrow{CP}$=（1，y-3），
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{CP}$=（x-1）×1+（-y）×（y-3）=0，
即x=y²-3y+1=${（y-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$，
∵0≤y≤4，∴y=$\frac{3}{2}$时，x取得最小值-$\frac{5}{4}$；
y=4时，x取得最大值5；
∴x_max-x_min=5-（-$\frac{5}{4}$）=$\frac{25}{4}$；
即点P从M运动到N的过程中，动点E的运动的路径长为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，数形结合思想的应用问题，是综合性题目．