题目内容
(2007•长宁区一模)在直角坐标系xoy中,双曲线
-
=1(a>0,b>0)的焦距为10,一条渐近线的倾斜角为arctan
.
(1)求双曲线方程及渐近线的方程;
(2)设P为双曲线的右顶点,过P作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于M点,求△OPM的面积S;
(3)当P在双曲线上运动时,试研究△OPM的面积的变化情况.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
4 |
(1)求双曲线方程及渐近线的方程;
(2)设P为双曲线的右顶点,过P作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于M点,求△OPM的面积S;
(3)当P在双曲线上运动时,试研究△OPM的面积的变化情况.
分析:(1)由题意可得:c=5,
=
,再结合a2+b2=c2,可得a=4,b=3,即可求出双曲线的方程与渐近线的方程;
(2)由(1)可得:P(4,0),结合题意即可写出过点P并且与一条渐近线平行的直线方程,进而求出点M的纵坐标,即可求出三角形的面积;
(3)设P(x0,y0),过P点作两渐近线的平行线交两条渐近线于M,N.则S△OPM=
SMONP,过点P作平行四边形MONP两条边上的高d1,d2,设两条渐近线的夹角为α,则ON=PM=
,利用求平行四边形面积的公式表达出面积,再结合P(x0,y0)在双曲线上,即可得出结论为:S△OPM为定值3.
b |
a |
3 |
4 |
(2)由(1)可得:P(4,0),结合题意即可写出过点P并且与一条渐近线平行的直线方程,进而求出点M的纵坐标,即可求出三角形的面积;
(3)设P(x0,y0),过P点作两渐近线的平行线交两条渐近线于M,N.则S△OPM=
1 |
2 |
d1 |
sinα |
解答:解:(1)由题意可得:c=5,
=
,
∵a2+b2=c2,
∴a=4,b=3,
所以双曲线方程为
-
=1.
渐近线方程为y=±
x;
(2)由(1)可得:P(4,0),过P点平行于一条渐近线的直线方程为y=-
(x-4),
由
,解得y=
.
∴S△OPM=
×4×
=3.
∴△OPM的面积S为3;
(3)设P(x0,y0),过P点做两渐近线的平行线交两条渐近线于M,N.
则S△OPM=
SMONP,过点P作平行四边形MONP两条边上的高d1,d2,
设两条渐近线的夹角为α,则ON=PM=
,
∴SMONP=
•d2=
•
•
=
•
,
∵P(x0,y0)在双曲线上,
∴9x02-16y02=9×16=144,
∵tan
=
,
∴sinα=
.
∴S△OPM=
•
•
=3.
∴当P在双曲线上运动时,△OPM的面积不变,为定值3.
b |
a |
3 |
4 |
∵a2+b2=c2,
∴a=4,b=3,
所以双曲线方程为
x2 |
16 |
y2 |
9 |
渐近线方程为y=±
3 |
4 |
(2)由(1)可得:P(4,0),过P点平行于一条渐近线的直线方程为y=-
3 |
4 |
由
|
3 |
2 |
∴S△OPM=
1 |
2 |
3 |
2 |
∴△OPM的面积S为3;
(3)设P(x0,y0),过P点做两渐近线的平行线交两条渐近线于M,N.
则S△OPM=
1 |
2 |
设两条渐近线的夹角为α,则ON=PM=
d1 |
sinα |
∴SMONP=
d1 |
sinα |
1 |
sinα |
|3x0+4y0| |
5 |
|3x0-4y0| |
5 |
1 |
sinα |
|9x02-16y02| |
25 |
∵P(x0,y0)在双曲线上,
∴9x02-16y02=9×16=144,
∵tan
α |
2 |
3 |
4 |
∴sinα=
24 |
25 |
∴S△OPM=
1 |
2 |
25 |
24 |
144 |
25 |
∴当P在双曲线上运动时,△OPM的面积不变,为定值3.
点评:本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单几何性质,考查了数学转化思想方法,关键在于借助于P的坐标.解此类面积的题目时,要注意使用整体运算的方法,以简化计算.该题属高考试题中的压轴题.

练习册系列答案
相关题目