题目内容

(2007•长宁区一模)在直角坐标系xoy中,双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的焦距为10,一条渐近线的倾斜角为arctan
3
4

(1)求双曲线方程及渐近线的方程;
(2)设P为双曲线的右顶点,过P作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于M点,求△OPM的面积S;
(3)当P在双曲线上运动时,试研究△OPM的面积的变化情况.
分析:(1)由题意可得:c=5,
b
a
=
3
4
,再结合a2+b2=c2,可得a=4,b=3,即可求出双曲线的方程与渐近线的方程;                                    
(2)由(1)可得:P(4,0),结合题意即可写出过点P并且与一条渐近线平行的直线方程,进而求出点M的纵坐标,即可求出三角形的面积;
(3)设P(x0,y0),过P点作两渐近线的平行线交两条渐近线于M,N.则S△OPM=
1
2
SMONP
,过点P作平行四边形MONP两条边上的高d1,d2,设两条渐近线的夹角为α,则ON=PM=
d1
sinα
,利用求平行四边形面积的公式表达出面积,再结合P(x0,y0)在双曲线上,即可得出结论为:S△OPM为定值3.
解答:解:(1)由题意可得:c=5,
b
a
=
3
4

∵a2+b2=c2
∴a=4,b=3,
所以双曲线方程为
x2
16
-
y2
9
=1
.          
渐近线方程为y=±
3
4
x
;                                      
(2)由(1)可得:P(4,0),过P点平行于一条渐近线的直线方程为y=-
3
4
(x-4)

y=-
3
4
(x-4)
y=
3
4
x
,解得y=
3
2

S△OPM=
1
2
×4×
3
2
=3

∴△OPM的面积S为3;                               
(3)设P(x0,y0),过P点做两渐近线的平行线交两条渐近线于M,N.
S△OPM=
1
2
SMONP
,过点P作平行四边形MONP两条边上的高d1,d2
设两条渐近线的夹角为α,则ON=PM=
d1
sinα

SMONP=
d1
sinα
d2=
1
sinα
|3x0+4y0|
5
|3x0-4y0|
5
=
1
sinα
|9x02-16y02|
25

∵P(x0,y0)在双曲线上,
∴9x02-16y02=9×16=144,
tan
α
2
=
3
4

sinα=
24
25

S△OPM=
1
2
25
24
144
25
=3

∴当P在双曲线上运动时,△OPM的面积不变,为定值3.
点评:本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单几何性质,考查了数学转化思想方法,关键在于借助于P的坐标.解此类面积的题目时,要注意使用整体运算的方法,以简化计算.该题属高考试题中的压轴题.
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