Question

（2007•长宁区一模）已知函数f(x)=

3

|cos

π

2

x|(x≥0)，图象的最高点从左到右依次记为P₁，P₃，P₅，…，函数y=f（x）图象与x轴的交点从左到右依次记为P₂，P₄，P₆，…，设Sn=

P1P2

•

P2P3

+(

P2P3

•

P3P4

)2+(

P3P4

•

P4P5

)3+(

P4P5

•

P5P6

)4+…+(

PnPn+1

•

pn+1pn+2

)n，则

lim

n→∞

Sn

1+(-2)n

=

2

3

．

Answer 1

分析：求出函数P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，…，的坐标，求出向量

P2k-1P2k

，

p2kp2k+1

 ，

p2k+1p2k+2

 ，求出

P2k-1P2k

•

p2kp2k+1

 ，

p2kp2k+1

 •

p2k+1p2k+2

 推出

PnPn+1

•

pn+1pn+2

 ，然后求出S_n，即可求解

lim

n→+∞

Sn

1+(-2)n

的值．

解答：解：函数f(x)=

3

|cos

π

2

x|(x≥0)，图象的最高点从左到右依次记为P₁，P₃，P₅，…，
函数y=f（x）图象与x轴的交点从左到右依次记为P₂，P₄，P₆，…，
所以P1(0，

3

)P₂（1，0），P3(2，

3

)，P₄（3，0），P5(4，

3

)，P₆（5，0）…
∴

P2k-1P2k

=(1，-

3

) ，

p2kp2k+1

=(1，

3

) ，

p2k+1p2k+2

 =(1，-

3

)，

P2k-1P2k

•

p2kp2k+1

 =1-3=-2，

p2kp2k+1

 •

p2k+1p2k+2

 =1-3=-2，
∴

PnPn+1

•

pn+1pn+2

 =-2，  n=1，2，3，…，
S_n=-2+（-2）²+（-2）³+…+（-2）ⁿ=

2[(-2)n-1]

3

，

lim

n→+∞

Sn

1+(-2)n

=-

2

3

lim

n→+∞

1-(-2)n

1+(-2)n

=-

2

3

lim

n→+∞

1 (-2)n -1

1 (-2)n +1

=

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题是中档题，考查函数的图象，数列的前n项和的求法，数列的极限的求解方法，考查计算能力．