题目内容
（2007•长宁区一模）已知函数f(x)=
|cos
x|(x≥0)，图象的最高点从左到右依次记为P1，P3，P5，…，函数y=f（x）图象与x轴的交点从左到右依次记为P2，P4，P6，…，设Sn=
•
+(
•
)2+(
•
)3+(
•
)4+…+(
•
)n，则
=
．
| 3 |
| π |
| 2 |
| P1P2 |
| P2P3 |
| P2P3 |
| P3P4 |
| P3P4 |
| P4P5 |
| P4P5 |
| P5P6 |
| PnPn+1 |
| pn+1pn+2 |
| lim |
| n→∞ |
| Sn |
| 1+(-2)n |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
分析：求出函数P1，P2，P3，P4，P5，…，的坐标，求出向量
，
，
，求出
•
，
•
推出
•
，然后求出Sn，即可求解
的值．
| P2k-1P2k |
| p2kp2k+1 |
| p2k+1p2k+2 |
| P2k-1P2k |
| p2kp2k+1 |
| p2kp2k+1 |
| p2k+1p2k+2 |
| PnPn+1 |
| pn+1pn+2 |
| lim |
| n→+∞ |
| Sn |
| 1+(-2)n |
解答：解：函数f(x)=
|cos
x|(x≥0)，图象的最高点从左到右依次记为P1，P3，P5，…，
函数y=f（x）图象与x轴的交点从左到右依次记为P2，P4，P6，…，
所以P1(0，
)P2（1，0），P3(2，
)，P4（3，0），P5(4，
)，P6（5，0）…
∴
=(1，-
) ，
=(1，
) ，
=(1，-
)，
•
=1-3=-2，
•
=1-3=-2，
∴
•
=-2， n=1，2，3，…，
Sn=-2+（-2）2+（-2）3+…+（-2）n=
，
=-
=-
=
．
故答案为：
．
| 3 |
| π |
| 2 |
函数y=f（x）图象与x轴的交点从左到右依次记为P2，P4，P6，…，
所以P1(0，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴
| P2k-1P2k |
| 3 |
| p2kp2k+1 |
| 3 |
| p2k+1p2k+2 |
| 3 |
| P2k-1P2k |
| p2kp2k+1 |
| p2kp2k+1 |
| p2k+1p2k+2 |
∴
| PnPn+1 |
| pn+1pn+2 |
Sn=-2+（-2）2+（-2）3+…+（-2）n=
| 2[(-2)n-1] |
| 3 |
| lim |
| n→+∞ |
| Sn |
| 1+(-2)n |
| 2 |
| 3 |
| lim |
| n→+∞ |
| 1-(-2)n |
| 1+(-2)n |
| 2 |
| 3 |
| lim |
| n→+∞ |
| ||
|
| 2 |
| 3 |
故答案为：
| 2 |
| 3 |
点评：本题是中档题，考查函数的图象，数列的前n项和的求法，数列的极限的求解方法，考查计算能力．
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