设P1(x1.y1).P1(x2.y2).-.Pn(xn.yn)是二次曲线C上的点.且a1=|OP1|2.a2=|OP2|2.-.an=|OPn|2构成了一个公差为d的等差数列.其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+-+an．(1)若C的方程为x2100+y225=1.n=3．点P1及S3=255.求点P3的坐标,(2)若C的方程为x2a2+y2b2=1．点P1(a.0).对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程为

100

=1，n=3．点P₁（10，0）及S₃=255，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为

=1（a＞b＞0）．点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P₁，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P₁，P₂，…P_n存在的充要条件，并说明理由．

分析：（1）依题意可分别求得a₁和a₃，进而把椭圆方程和圆的方程联立求得交点即P₃的坐标．
（2）根据原点O到二次曲线C：

=1（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．根据a₁=a²，判断d＜0，进而根据a_n≥b²，求得

b2-a2

n-1

≤d，进而判断S_n在[

b2-a2

n-1

，0）上递增，进而求得S_n的最小值．
（3）点P₁（a，0），则对于给定的n，点P₁，P₂，P_n存在的充要条件是d＞0．根据双曲线的性质可知原点O到双曲线C上各点的距离h的范围，进而根据|OP₁|=a²推断点P₁，P₂，P_n存在当且仅当|OP_n|²＞|OP₁|²符合．

解答：解：（1）a₁=|OP₁|²=100，由S₃=

（a₁+a₃）=255，得a₃=|OP₃|³=70．
由

100

x2+y2=70

，得

x2=60

y2=10

，
∴点P₃的坐标可以为（2

，

）．

（2）原点O到二次曲线C：

=1（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．
∵a₁=|OP₁|²=a²，
∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+（n-1）d≥b²，
∴

b2-a2

n-1

≤d＜0．∵n≥3，

n(n-1)

＞0
∴S_n=na²+

n(n-1)

d在[

b2-a2

n-1

，0）上递增，
故S_n的最小值为na²+

n(n-1)

•

b2-a2

n-1

n(a2+b2)

．

（3）若双曲线C：

=1，点P₁（a，0），
则对于给定的n，点P₁，P₂，P_n存在的充要条件是d＞0．
∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[|a|，+∞），且|OP₁|=a²，
∴点P₁，P₂，P_n存在当且仅当|OP_n|²＞|OP₁|²，即d＞0．

点评：本题主要考查了等差数列的性质．涉及了圆锥曲线和函数的知识，考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．

练习册系列答案

y)．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P₁的坐标为（2，2），求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为2的收敛圆．

设P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数f(x)=

．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）若Sn=

i=1

)，n∈N*，求S_n；
（3）记T_n为数列{

)对一切n∈N^*都成立，试求a的取值范围．
①an-1+1=

-y²=1，n=3．点P₁（3，0）及S₃=162，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y²=2px（p≠0）．点P₁（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x₁+p）²，（x₂+p）²，…，（x_n+p）²成等差数列；
（3）若C的方程为

=1（a＞b＞0）．点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值．

-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）为y=f（x）的图象上两个不同点，又点P（x_P，y_P）满足：

时，y_P是否为定值？若是，求出y_P的值，若不是，请说明理由．

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