题目内容
【题目】已知向量,
,
,
,函数
,
的最小正周期为
.
(1)求的单调增区间;
(2)方程;在
上有且只有一个解,求实数n的取值范围;
(3)是否存在实数m满足对任意x1∈[-1,1],都存在x2∈R,使得+
+m(
-
)+1>f(x2)成立.若存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1),
(2)
或
(3)存在,且m取值范围为
【解析】
(1)函数,
的最小正周期为
.可得
,即可求解
的单调增区间.
(2)根据x在上求解
的值域,即可求解实数n的取值范围;
(3)由题意,求解的最小值,利用换元法求解
的最小值,即可求解m的范围.
(1)函数f(x)1=2sin2(ωx
)
cos(2ωx)﹣1
=sin(2ωx)cos(2ωx)
=2sin(2ωx)
∵f(x)的最小正周期为π.ω>0
∴,
∴ω=1.
那么f(x)的解析式f(x)=2sin(2x)
令2x
,k∈Z
得:x
∴f(x)的单调增区间为[,
],k∈Z.
(2)方程f(x)﹣2n+1=0;在[0,]上有且只有一个解,
转化为函数y=f(x)+1与函数y=2n只有一个交点.
∵x在[0,]上,
∴(2x
)
那么函数y=f(x)+1=2sin(2x)+1的值域为[
,2],结合图象可知
函数y=f(x)+1与函数y=2n只有一个交点.
那么2n<1或2n=2,
可得或n=1.
(3)由(1)可知f(x)=2sin(2x)
∴f(x2)min=﹣2.
实数m满足对任意x1∈[﹣1,1],都存在x2∈R,
使得m(
)+1>f(x2)成立.
即m(
)+1>﹣2成立
令ym(
)+1
设t,那么
(
)2+2=t2+2
∵x1∈[﹣1,1],
∴t∈[,
],
可得t2+mt+5>0在t∈[,
]上成立.
令g(t)=t2+mt+5>0,
其对称轴t
∵t∈[,
]上,
∴①当时,即m≥3时,g(t)min=g(
)
,解得
;
②当,即﹣3<m<3时,g(t)min=g(
)
0,解得﹣3<m<3;
③当,即m≤﹣3时,g(t)min=g(
)
0,解得
m≤﹣3;
综上可得,存在m,可知m的取值范围是(,
).
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