题目内容
【题目】已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0),对任意的x∈R,都有f(x﹣4)=f(2﹣x)成立,
(1)求2a﹣b的值;
(2)函数f(x)取得最小值0,且对任意x∈R,不等式x≤f(x)≤( )2恒成立,求函数f(x)的解析式;
(3)若方程f(x)=x没有实数根,判断方程f(f(x))=x根的情况,并说明理由.
【答案】
(1)解:由f(x﹣4)=f(2﹣x)成立,可得函数y=f(x)图象的对称轴方程为x= =﹣1,
∴﹣ =﹣1,∴2a﹣b=0
(2)解:当x=﹣1 时,f(x)=a﹣b+c=0,
对于不等式x≤f(x)≤( )2 ,当x=1时,有1≤f(1)≤1,∴f(1)=a+b+c=1.
由以上方程解得 a= =c,b=
,∴函数的解析式为
(3)解:因为方程f(x)=x无实根,所以当a>0时,不等式f(x)>x恒成立,
∴f(f(x))>f(x)>x,故方程f(f(x))=x无实数解.
当a<0时,不等式f(x)<x恒成立,∴f(f(x))<f(x)<x,
故方程f(f(x))=x无实数解,
综上得:方程f(f(x))=x无实数解
【解析】(1)由f(x﹣4)=f(2﹣x)成立,可得函数y=f(x)图象的对称轴方程为 x=﹣ =﹣1,由此求得 2a﹣b的值. (2)当x=﹣1 时,f(x)=a﹣b+c=0,对于不等式x≤f(x)≤(
)2 , 当x=1时,由1≤f(1)≤1,可得f(1)=a+b+c=1.求得a、b、c的值,可得函数的解析式.(3)由题意可得,当a>0时,不等式f(x)>x恒成立,f(f(x))>f(x)>x,方程f(f(x))=x无实数解.当a<0时,由不等式f(x)<x恒成立,可得f(f(x))<f(x)<x,方程f(f(x))=x无实数解,综合可得结论.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质,需要了解当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减才能得出正确答案.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】从一批土鸡蛋中,随机抽取n个得到一个样本,其重量(单位:克)的频数分布表如表:
分组(重量) | [80,85) | [85,90) | [90,95) | [95,100] |
频数(个) | 10 | 50 | m | 15 |
已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个,抽到重量在在[90,95)的土鸡蛋的根底为
(1)求出n,m的值及该样本的众数;
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的土鸡蛋中共抽取5个,再从这5个土鸡蛋中任取2 个,其重量分别是g1 , g2 , 求|g1﹣g2|≥10概率.