题目内容
【题目】函数f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m(0<m≤1).
(1)若x∈[0,m],证明:f(x)≤ ;
(2)求|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m).
【答案】
(1)证明:∵0<m≤1,∴f(x)的对称轴x= ∈[
,
),
①0<m≤ 时,函数f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m开口向下,在[0,m)函数是增函数,
∴f(x)≤f(m)=﹣m2+(3﹣2m)m+2+m=﹣3m2+4m+2=﹣3 ;
②当 时,f(x)max=f(
)=
=
<
.
综上,f(x)≤ ;
(2)解:函数f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m=﹣(x﹣ )2+
,
若0 ,则0<2m≤1,f(x)的对称轴x=
∈[1,
),
则f(x)在[﹣1,1]上为增函数,
∵f(1)=4﹣m∈[ ),|f(﹣1)|=|3m﹣2|∈[
,2).
∴|f(1)|>|f(﹣1)|,
∴|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m)=f(1)=4﹣m;
若 <m≤1,则1<2m≤2,f(x)的对称轴x=
∈(
,1],
则f(x)在[﹣1,1]上先增后减,且最小值为f(﹣1)=3m﹣2,最大值为f( )=m2﹣2m+
.
∵|f(﹣1)|=|3m﹣2|∈[0,1],f( )=m2﹣2m+
=
.
∴|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m)=f( )=m2﹣2m+
.
综上,g(m)=
【解析】(1)求出二次函数的对称轴方程,由m的范围分类可得二次函数在[0,m]上的单调性,得到二次函数的最大值,由配方法证明f(x)≤ ;(2)分0
和
<m≤1两种情况求出函数f(x)在[﹣1,1]上的最值,再由最值的绝对值的大小求得|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m).
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料知,y对x呈线性相关关系,试求:
(Ⅰ)请画出上表数据的散点图;
(Ⅱ)请根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程=bx+
;
(Ⅲ)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?
(参考数据:2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3)