题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,直线
交椭圆
于
、
两点,椭圆
的右顶点为
,且满足
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
交于不同两点
、
,且定点
满足
,求实数
的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】试题分析:
(1)根据可求得
,再由离心率可得c,于是可求得b,进而得到椭圆的方程.(2)结合直线和椭圆的位置关系求解.将直线方程和椭圆方程联立消元后得到二次方程,由判别式大于零可得
,结合
可得
,从而得到关于
的不等式组,解不等式组可得所求范围.
试题解析:
(1)∵,
∴,
又,
∴,
∴,
∴椭圆的方程为
.
(2)由消去y整理得:
,
∵直线与椭圆交于不同的两点、
,
∴,
整理得.
设,
,
则,
又设中点
的坐标为
,
∴,
.
∵,
∴,即
,
∴,
∴,解得
.
∴实数的取值范围
.
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