Question

【题目】如图，A、B两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造储备仓库，共享民生物资，当点P在线段AB的中点C时，建造费用为2000万元，若点P在线段AC上（不含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比，若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、B之间的距离成反比，现假设P、A之间的距离为x千米，A地所需该物资每年的运输费用为万元，B地所需该物资每年的运输费用为万元，表示建造仓库费用，表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）．

（1）求函数的解析式;

（2）若规划仓库使用的年限为，，求的最小值，并解释其实际意义．

Answer 1

【答案】（1）当，；当，；（2），见解析

【解析】

（1）由题意，设f（x）＝，由f（50）＝2000，求得k1与k2的值，则函数解析式可求；
（2）求出g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50，然后分段写出H（x），求导后再对n分类求解H（x）的最小值，并解释其实际意义.

解：（1）由题意，设f（x）＝，

由f（50）＝2000，求得k1＝k2＝100000.

∴f（x）＝；

（2）g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50，

若0＜x≤50，则H（x）＝f（x）+ng（x）＝，

H′（x）＝，由H′（x）＝0，得x＝100，

若n∈N*且n≤20，则H（x）在（0，50]上单调递减，H（x）min＝H（50）＝2000+150n；

若n∈N*且n＞20，则H（x）在（0，100）上单调递减，在（100，50）单调递增，

∴；

若50＜x＜100，则H（x）＝f（x）+ng（x）＝，

H′（x）＝＞0，H（x）在（50，100）上单调递增，

若n∈N*且n≤20，则H（x）＞2000+150n；

若n∈N*且n＞20，则H（x）＞50n+.

综上，若n∈N*且n≤20，则H（x）min＝2000+150n；

若n∈N*且n＞20，则.

实际意义：建造储备仓库并使用n年，花费在建造仓库和两地物资运输总费用的最小值.