Question

【题目】已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点 在直线，（为长半轴，为半焦距）上.

（1）求椭圆的标准方程

（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N.求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定值为

【解析】

（1）由题可知，，再结合，可求出 ，从而可得椭圆的标准方程；

（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心和半径，由以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，根据勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，即可确定出所求圆的方程；

（3）设出点的坐标，表示出及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入，即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值.

（1）又由点M在准线上，得

故，

从而

所以椭圆方程为

（2）以OM为直径的圆的方程为

即

其圆心为，半径

因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2

所以圆心到直线的距离

所以，

解得

所求圆的方程为

（3）方法一：由平面几何知：

直线OM：，直线FN：

由得

所以线段ON的长为定值.

方法二、设，则

又

所以，为定值