Question

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，T_n为等比数列{b_n}的前n项积．
（1）求证：数列S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差数列，并给出更一般的结论（只要求给出结论，不必证明）；
（2）若T₁₀=10，T₂₀=20，求T₃₀的值？类比（1）你能得到什么结论？（只要求给出结论，不必证明）．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则Sn=na1+

n(n-1)

2

d，由此能够证明对于任意正整数k，数列S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…成等差数列．
（2）Tn=b1nq

n(n-1)

2

，由T₁₀=10，T₂₀=20，得b₁¹⁰q⁴⁵=10，b₁²⁰q¹⁹⁰=20，得b110=10×5

9

20

，q5=(

1

5

)

1

20

，由此能够证明数列T_k，

T2k

Tk

，

T3k

T2k

，…成等比数列．

解答：（1）证明：设等差数列{a_n}的公差为d，
则Sn=na1+

n(n-1)

2

d，
所以S10=10a1+

10×9

2

d=10a1+45d．
同理S₂₀=20a₁+190d，S₃₀=30a₁+435d．
所以，S₂₀-S₁₀=10a₁+145d，S₃₀-S₂₀=10a₁+245d，
所以，S₁₀+（S₃₀-S₂₀）=20a₁+290d=2（S₂₀-S₁₀），
所以，数列S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差数列．  …（5分）
∴对于任意正整数k，数列S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…成等差数列．…（7分）
（2）解：∵等比数列{b_n}的前n项积是T_n，
∴Tn=b1nq

n(n-1)

2

，
∵T₁₀=10，T₂₀=20，∴b₁¹⁰q⁴⁵=10，b₁²⁰q¹⁹⁰=20，
∴b110=10×5

9

20

，q5=(

1

5

)

1

20

，
故T30=b130q435=(10×5

9

20

)3×[(

1

5

)

1

20

]87=8．…（12分）
类比（1）能得到结论：对于任意正整数k，数列T_k，

T2k

Tk

，

T3k

T2k

，…成等比数列．…（14分）

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是计算繁琐，容易失误．解题时要认真审题，注意培养计算能力．