Question

3．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 由异面直线所成的角的定义，先作出这个异面直线所成的角的平面角，即连接B₁C，再证明∠AB₁C就是异面直线AB₁与 A₁D所成的角，最后在△AB₁C中计算此角的余弦值即可．

解答 解：如图连接C₁D，则C₁D∥AB₁，
∴∠BC₁D就是异面直线AB₁与BC₁所成的角．AB=BC=2，AA₁=1，
在△BC₁D中，BD=$\sqrt{2}$，BC₁=DC₁=$\sqrt{5}$，
∴cosBC₁D=$\frac{5+5-（{2\sqrt{2}）}^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$．
∴异面直线AB₁与A₁D所成的角的余弦值为：$\frac{1}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了异面直线所成的角的定义和求法，先作再证后计算，将空间角转化为平面角的思想．