题目内容
【题目】定义：如果数列
的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列，对于“三角形”数列，如果函数
使得
仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，
.
（1）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若
是数列的“保三角形函数”，求
的取值范围；
（2）已知数列
的首项为2010，
是数列的前
项和，且满足
，证明是“三角形”数列；
（3）根据“保三角形函数的定义，对函数
，和数列1，
提出一个正确的命题，并说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析；（3）详见解析
【解析】
（1）求出
的通项公式根据定义推出是三角形数列，再由
的单调性及
列出关于k的不等式求解即可；（2）由
与
的关系由所给等式求出
的通项公式，利用指数函数的单调性推出数列的单调性，因此证明
即可证明是“三角形”数列；（3）函数
是数列1，
的“保三角形函数”，列出此结论所需条件求出k的范围.
（1）显然
对任意正整数都成立，
即是三角形数列且是递增数列，
因为
，函数
单调递增，所以
，
由，得
，
，解得
.
所以当时，
是数列的“保三角形函数”；
（2）当
时，由
，得
，
两式相减，得
，所以，
，
又
也满足上式，所以
.
显然
，因为
，所以是“三角形”数列；
（3）探究过程：函数是数列1，的“保三角形函数”，必须满足三个条件：
①1，是三角形数列，所以
，即
；
②数列中的各项必须在定义域内，即
；
③
是“三角形”数列.
由于是单调递减函数，所以
，化简得
，解得
.
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