Question

16．已知点P（a_n，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）为函数f（x）=$\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$的图象上，且a₁=1，a_n＞0
（1）求证：数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}为等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n²•a_n+2²}的前n项和为S_n
①S_n；
②若对任意n∈N*，不等式S_n＜t²-3t-$\frac{13}{4}$恒成立，求正整数t的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的定义和通项公式，计算即可得到；
（2）①运用裂项相消求和即可得到；
②由不等式恒成立思想求得S_n的最值，注意运用单调性和不等式的性质，解不等式，即可得到t的最小值．

解答 （1）证明：点P（a_n，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）为函数f（x）=$\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$的图象上，
则$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}}$，
即有$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1，
则数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}为首项是1，公差为1的等差数列，
$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+（n-1）=n，即为a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$；
（2）解：a_n²•a_n+2²=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
①S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
②由于S_n是正整数上的递增数列，即有S₁≤S_n＜$\frac{3}{4}$，
对任意n∈N*，不等式S_n＜t²-3t-$\frac{13}{4}$恒成立，
即有t²-3t-$\frac{13}{4}$$≥\frac{3}{4}$，
即为t²-3t-4≥0，
解得t≥4，或t≤-1．
则正整数t的最小值为4．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，主要考查构造数列的方法，以及裂项相消求和的方法，考查不等式恒成立思想转化为求数列的最值问题，属于中档题和易错题．