题目内容
如图,设椭圆:
的离心率
,顶点
的距离为
,
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的射线,与椭圆
分别交于
两点.
(ⅰ)试判断点到直线
的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明理由;
(ⅱ)求的最小值.
(1);(2)(ⅰ)
;(ⅱ)
.
【解析】
试题分析:(1)利用离心率可得,
关系.由两个顶点距离可得
,
距离,由此结合
可求得
,
的值,从而求得椭圆的标准方程;(2)分直线
的斜率不存在与存在两种情况求解.当直线
的斜率不存在时,情况特殊,易求解;当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
与椭圆方程联立消去
得到关于
的一元二次方程,然后结合韦达定理与
,以及点到直线的距离公式求解;(3)在
中,利用
=
与
,结合基本不等式求解.
试题解析:(1)由,得
,
由顶点的距离为
,得
,
又由,解得
,所以椭圆C的方程为
.
(2)【解析】
(ⅰ)点到直线
的距离为定值.
设,
① 当直线AB的斜率不存在时,则为等腰直角三角形,不妨设直线
:
,
将代入
,解得
,
所以点到直线
的距离为
;
② 当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
与椭圆
:
,
联立消去得
,
,
.
因为,所以
,
,
即,
所以,整理得
,
所以点到直线
的距离
=
.
综上可知点到直线
的距离为定值
.
(ⅱ)在中,因为
=
又因为≤
,所以
≥
,
所以≥
,当
时取等号,即
的最小值是
.
考点:1、椭圆的性质;2、直线与椭圆的位置关系;3、点到直线的距离.

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