题目内容

如图,设椭圆的离心率,顶点的距离为,为坐标原点.

1)求椭圆的方程;

2)过点作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于两点.

试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明理由;

的最小值.

 

1;(2

【解析】

试题分析:(1)利用离心率可得关系.由两个顶点距离可得距离,由此结合可求得的值,从而求得椭圆的标准方程;(2)分直线的斜率不存在与存在两种情况求解.当直线的斜率不存在时,情况特殊,易求解;当直线的斜率存在时,设直线的方程为与椭圆方程联立消去得到关于的一元二次方程,然后结合韦达定理与,以及点到直线的距离公式求解;(3)在中,利用,结合基本不等式求解

试题解析:(1)由,得

由顶点的距离为,得

又由,解得,所以椭圆C的方程为

2)【解析】
到直线的距离为定值.

,

① 当直线AB的斜率不存在时,则为等腰直角三角形,不妨设直线

代入,解得

所以点到直线的距离为

② 当直线的斜率存在时,设直线的方程为与椭圆

联立消去

因为,所以

所以,整理得

所以点到直线的距离

综上可知点到直线的距离为定值

中,因为

又因为,所以

所以,当时取等号,即的最小值是

考点:1、椭圆的性质;2、直线与椭圆的位置关系;3、点到直线的距离.

 

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