题目内容
3．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（-1，1），若非零向量$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$共线且反向，且|$\overrightarrow{c}$|=8$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$夹角的余弦值为$\frac{4}{5}$．分析 由已知条件，可设$\overrightarrow{c}=t（-1，1）$，t＜0，根据$|\overrightarrow{c}|=8\sqrt{2}$即可求出t=-8，所以可求出向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$的坐标，从而根据向量夹角余弦的坐标公式求出这两向量夹角的余弦即可．
解答 解：根据题意设$\overrightarrow{c}=t（-1，1）$，t＜0；
∵$|\overrightarrow{c}|=8\sqrt{2}$；
∴$-\sqrt{2}t=8\sqrt{2}$；
∴t=-8；
∴$\overrightarrow{c}=（8，-8）$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（4，3），2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=（14，0）$；
$cos＜\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}，2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}＞$=$\frac{4×14}{5×14}=\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．
点评 考查共线向量基本定理，根据向量坐标求向量长度，以及数量积的坐标运算，两向量夹角余弦的坐标公式．
练习册系列答案
相关题目
14．设反比例函数f（x）=$\frac{1}{x}$与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则$\frac{y_1}{y_2}$=（ ）
| A． | 2或$\frac{1}{2}$ | B． | -2或$-\frac{1}{2}$ | C． | 2或$-\frac{1}{2}$ | D． | -2或$\frac{1}{2}$ |
11．已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B=（ ）
| A． | {0} | B． | {2} | C． | {0，2} | D． | {0，1，2，3} |
18．${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sin2$\frac{x}{2}$dx等于（ ）
| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | $\frac{π}{2}$-1 | C． | 2 | D． | $\frac{π-2}{4}$ |