Question

13．设f（x）=x-alnx，函数f（x）有两个零点x₁，x₂．且x₁＜x₂．求$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$随a的变化情况．

Answer 1

分析 由题意可得a=$\frac{x}{lnx}$；从而设g（x）=$\frac{x}{lnx}$并求导g′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，从而可得g（x）的单调性及取值范围；再由单调性定义证明的方法即可解答．

解答 解：由f（x）=x-alnx=0得，a=$\frac{x}{lnx}$；
设g（x）=$\frac{x}{lnx}$，则g′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，
故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，
且当x∈（0，1）时，g（x）＜0；当x∈（1，e）时，g（x）＞e；当x∈（e，+∞）时，g（x）＞e；
故a∈（e，+∞）；x₁∈（1，e），x₂∈（e，+∞）；
对于任意a₁，a₂∈（e，+∞），不妨设a₁＞a₂，
则g（x₁）=g（x₂）=a₁，g（y₁）=g（y₂）=a₂；
其中1＜x₁＜e＜x₂，1＜y₁＜e＜y₂，
则由g（x）在（1，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数知，
x₁＜y₁，x₂＞y₂，
故$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$；
故$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$随a的增大而增大．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用，同时考查了零点的判定与应用，属于中档题．