题目内容
已知向量
=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx），
=（
，2cosωx），函数f（x）=
•
（x∈R）的图象关于直线x=
对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
，再将所得图象向右平移
个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，求y=h（x）在[-
，
]上的取值范围．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
| 1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
分析：（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角公式和两角和的正弦函数，化简函数为 一个角的一个三角函数的形式，通过函数的对称轴方程求出ω，然后得到函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）通过函数图象的变换，求出y=h（x），利用x∈[-
，
]，通过正弦函数的值域，求解函数的取值范围．
（Ⅱ）通过函数图象的变换，求出y=h（x），利用x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为函数f（x）=
•
=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx）•（
，2cosωx）
=
（cos2ωx-sin2ωx）+2sinωxcosωx
=
cos2ωx+sin2ωx
=2sin（2ωx+
），
函数f（x）的图象关于直线x=
对称，
所以2sin（2ωx+
）=±2，ωπ+
=kπ+
，k∈Z，ω=k+
，k∈Z，
其中ω为常数，且ω∈（0，1）．所以ω=
．
函数f（x）=2sin（
x+
）；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
，
再将所得图象向右平移
个单位，纵坐标不变，
得到y=2sin（2x-
）的图象，所以h（x）=2sin（2x-
），
x∈[-
，
]，∴2x-
∈[-
，
]，∴2sin（2x-
）∈[-2，1]
h（x）在[-
，
]上的取值范围[-2，1]．
解：（Ⅰ）因为函数f（x）=
| a |
| b |
| 3 |
=
| 3 |
=
| 3 |
=2sin（2ωx+
| π |
| 3 |
函数f（x）的图象关于直线x=
| π |
| 2 |
所以2sin（2ωx+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
其中ω为常数，且ω∈（0，1）．所以ω=
| 1 |
| 6 |
函数f（x）=2sin（
| 1 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
| 1 |
| 6 |
再将所得图象向右平移
| π |
| 3 |
得到y=2sin（2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
h（x）在[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
点评：本题考查向量的数量积，两角和与差的三角函数，正弦函数的图象与性质，函数图象的平移变换，考查向量与三角函数的综合应用．
练习册系列答案
相关题目