Question

已知向量

a

=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx），

b

=（

3

，2cosωx），函数f（x）=

a

•

b

（x∈R）的图象关于直线x=

π

2

对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的

1

6

，再将所得图象向右平移

π

3

个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，求y=h（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角公式和两角和的正弦函数，化简函数为 一个角的一个三角函数的形式，通过函数的对称轴方程求出ω，然后得到函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）通过函数图象的变换，求出y=h（x），利用x∈[-

π

4

，

π

4

]，通过正弦函数的值域，求解函数的取值范围．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为函数f（x）=

a

•

b

=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx）•（

3

，2cosωx）
=

3

（cos²ωx-sin²ωx）+2sinωxcosωx
=

3

cos2ωx+sin2ωx
=2sin（2ωx+

π

3

），
函数f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称，
所以2sin（2ωx+

π

3

）=±2，ωπ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，ω=k+

1

6

，k∈Z，
其中ω为常数，且ω∈（0，1）．所以ω=

1

6

．
函数f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

）；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的

1

6

，
再将所得图象向右平移

π

3

个单位，纵坐标不变，
得到y=2sin（2x-

π

3

）的图象，所以h（x）=2sin（2x-

π

3

），
x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，∴2sin（2x-

π

3

）∈[-2，1]
h（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的取值范围[-2，1]．

点评：本题考查向量的数量积，两角和与差的三角函数，正弦函数的图象与性质，函数图象的平移变换，考查向量与三角函数的综合应用．