Question

3．已知向量$\overline{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$）
（1）若$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=1，求$sin（{\frac{5π}{6}-\frac{x}{2}}）$的值；
（2）记f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，求得sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，从而求得$sin（{\frac{5π}{6}-\frac{x}{2}}）$=sin[π-（$\frac{5π}{6}$-$\frac{x}{2}$）]的值．
（2）由条件利用正弦定理求得cosB=$\frac{1}{2}$，可得B=$\frac{π}{3}$，再根据0＜A＜$\frac{2π}{3}$，求得sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1），可得函数f（A）=sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的值域．

解答 解：（1）由于$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$═$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1+cos\frac{x}{2}}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴$sin（{\frac{5π}{6}-\frac{x}{2}}）$=sin[π-（$\frac{5π}{6}$-$\frac{x}{2}$）]=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
（2）∵f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，在△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，即 2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，即  2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$，∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，0＜$\frac{A}{2}$＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1）．
∴函数f（A）=sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈（1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．