题目内容
10.设a,b,c∈(1,+∞),证明:2($\frac{lo{g}_{b}a}{a+b}$+$\frac{lo{g}_{c}b}{b+c}$+$\frac{lo{g}_{a}c}{c+a}$≥$\frac{9}{a+b+c}$.分析 利用基本不等式的性质即可得出.
解答 解:∵a,b,c∈(1,+∞),
∴lga,lgb,lgc>0.
∴(a+b+a+c+b+c)$(\frac{lga}{(a+b)lgb}+\frac{lgb}{(b+c)lgc}+\frac{lgc}{(c+a)lga})$≥3$\root{3}{(a+b)(a+c)(b+c)}$•3$\root{3}{\frac{lga}{(a+b)lgb}•\frac{lgb}{(b+c)lgc}•\frac{lgc}{(c+a)lga}}$=9,当且仅当a=b=c>1时取等号.
∴2($\frac{lo{g}_{b}a}{a+b}$+$\frac{lo{g}_{c}b}{b+c}$+$\frac{lo{g}_{a}c}{c+a}$≥$\frac{9}{a+b+c}$.
点评 本题查克拉基本不等式的性质,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题.
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