题目内容

【题目】对由排成的行,在其下面重新定义一行(比上面一行少一个字母).若其头上的两个字母不同,则在该位置写上第三个字母;若其头上的两个字母相同,则在该位置写上该字母.对新得到的行重复上面的操作,直到变为一个字母为止.图给出了的一个例子.

求所有的正整数,使得对任意的初始排列,经上述操作后,所得到的三角形的三个顶点上的字母要么全相同,要么两两不同.

【答案】见解析

【解析】

时,只有如图的6种情形:

均符合题意.

的情形,依下面的方法处理.

时,用0、1、2分别代表.表示第行的第个数,那么,

由此可知,最后一行的那个数为

.

如果为满足条件的数,

则对任意,均应有. ①

. ②

式①等价于

.

这样,结合式②应有

. ③

这里任意取,但要求满足中恰有个0,个1,个2.

分别代入式③,再相减(将被除数相减)得. ④

注意到

于是,式④变为,矛盾(注意用在代入式③时在被除数中出现).

所以,.

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