题目内容
本小题满分12分)
已知点P(4,4),圆C:
与椭圆E:
有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.
(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;
(Ⅱ)Q为椭圆E上的一个动点,求
的取值范围.
w.
已知点P(4,4),圆C:


有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.
(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;
(Ⅱ)Q为椭圆E上的一个动点,求


(1)

(2) [-12,0]
.解:(Ⅰ)点A代入圆C方程, 得
.∵m<3,∴m=1. 2分
圆C:
.设直线PF1的斜率为k,
则PF1:
,即
.∵直线PF1与圆C相切,
∴
.
解得
. ……………… 4分
当k=
时,直线PF1与x轴的交点横坐标为
,不合题意,舍去.
当k=
时,直线PF1与x轴的交点横坐标为-4,
∴c=4.F1(-4,0),F2(4,0). …………………… 5分
2a=AF1+AF2=
,
,a2=18,b2=2.
椭圆E的方程为:
. …………………… 7分
(法二)直接设直线
的方程为:
去求c . 2
(Ⅱ)
,设Q(x,y),
,
.
…………………… 9分
(法一)设
,则
是直线
在
轴上的截距,所以当
,
取得最大值与最小值,把直线方程代入椭圆方程得:
由
,
得
,
的取值范围是[-6,6].
∴
的取值范围是[-12,0]. ……… 12分
(法二)∵
,即
,
而
,∴-18≤6xy≤18.
则
的取值范围是[0,36].
的取值范围是[-6,6].
∴
的取值范围是
[-12,0]. …………………… 12分

圆C:

则PF1:


∴

解得

当k=


当k=

∴c=4.F1(-4,0),F2(4,0). …………………… 5分
2a=AF1+AF2=


椭圆E的方程为:

(法二)直接设直线


(Ⅱ)




(法一)设








得



∴

(法二)∵


而

则


∴



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