题目内容

6.宁德至福州铁路里程约为100km,和谐号动车从宁德站出发,前2分钟内变速运行,其速度v(米/分钟)关于时间t(分钟)满足函数关系:v(t)=at3+bt2+ct+d,且v'(0)=v'(2)=0,之后匀速行驶24分钟,再减速行驶5km至终点(福州站).
(Ⅰ)求:前2分钟速度v(t)的函数关系式;
(Ⅱ)求动车运行过程中速度的最大值.

分析 ( I)求出v(t)的导数,由条件可得c=d=0,b=-3a,由积分的运算可得a=-950,即可得到v(t)的解析式;
( II)求得函数v(t)的导数,求得单调区间,求得极值、最值即可得到速度的最大值.

解答 解:( I)∵v(t)=at3+bt2+ct+d
∴v′(t)=3at2+2bt+c,
又∵v′(0)=v′(2)=0,v(0)=0,
∴$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ d=0\\ 12a+4b=0\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ d=0\\ b=-3a\end{array}\right.$,
∴v(t)=at3-3at2
v(2)=8a-12a=-4a;
则前2分钟运行的路程为${s_1}=\int_0^2{(a{t^3}-3a{t^2})dt}=(\frac{{a{t^4}}}{4}-a{t^3})|_0^2=-4a$.
依题意得:100×1000-5×1000+4a=24•v(2)
即95000+4a=24×(-4a),解得a=-950,
∴v(t)=-950t3+2850t2(0≤t≤2);                           
( II)∵v(t)=-950t3+2850t2(0≤t≤2)
∴v′(t)=-950•3t2+2•2850t=-2850t(t-2)≥0,(0≤t≤2)
∴v(t)在[0,2]上为增函数,∴当t=2时,v(t)max=v(2)=3800米/分钟.
∴动车在行使过程中的最大速度为3800米/分钟.

点评 本题考查运用导数解决实际问题,运用导数求最值问题,考查运算能力,属于中档题.

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