题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论函数
的单调性;
(2)若不等式
对于任意
成立,求正实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2) .
【解析】试题分析: 求出函数的定义域和导数,然后讨论当
时,当
时确定
的单调性
问题等价于对任意
,有
成立,设
,
,根据函数的单调性求出
的最大值,解关于
的不等式,解出即可
解析:(1)函数的定义域为
.
.
若,则
当或
时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
若,则
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
综上所述,当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减;当
时,函数
在
上单调递减,在
和
上单调递增.
(2)原题等价于对任意,有
成立.
设,
,所以
.
.
令,得
;令
,得
.
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增,
为
与
中的较大者.
设
,
则
,
所以在
上单调递增,故
,所以
,
从而.
所以即
.
设,则
.
所以在
上单调递增.
又,所以
的解为
.
因为,所以正实数
的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查,其中女生人数是男生人数的,男生追星的人数占男生人数的
,女生追星的人数占女生人数的
.若有
的把握认为是否追星和性别有关,则男生至少有( )
参考数据及公式如下:
A. 12B. 11C. 10D. 18
【题目】“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南镇2009~2018年梅雨季节的降雨量(单位:
)的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:
“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计
镇明年梅雨季节的降雨量;
“江南梅雨无限愁”.
镇的杨梅种植户老李也在犯愁,他过去种植的甲品种杨梅,他过去种植的甲品种杨梅,亩产量受降雨量的影响较大(把握超过八成).而乙品种杨梅2009~2018年的亩产量(
/亩)与降雨量的发生频数(年)如
列联表所示(部分数据缺失).请你帮助老李排解忧愁,他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小?
(完善列联表,并说明理由).
亩产量\降雨量 | 合计 | ||
<600 | 2 | ||
1 | |||
合计 | 10 |
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.703 |
(参考公式:,其中
)