题目内容
已知椭圆C1：
+
=1(a＞b＞0)的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点F重合，点M是C1与C2在第一象限内的交点，且|MF|=
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设抛物线的准线与x轴交于点E，过E任作一条直线l，l与椭圆C1的两个交点记为A，B．问：在椭圆的长轴上是否存在一点P，使
•
为定值？若存在，求出点P的坐标及相应的定值；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 5 |
| 3 |
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设抛物线的准线与x轴交于点E，过E任作一条直线l，l与椭圆C1的两个交点记为A，B．问：在椭圆的长轴上是否存在一点P，使
| PA |
| PB |
分析：（1）由抛物线的定义结合|MF|=
求出M的坐标，把M的坐标代入椭圆方程，结合已知条件求得椭圆方程；
（2）求出E点的坐标，假设存在点P（m，0）（-2≤m≤2）满足要求．求出直线l的斜率不存在和斜率为0时的
•
值，由两值相等求出m的值，然后分情况证明所求的P点符合要求．
| 5 |
| 3 |
（2）求出E点的坐标，假设存在点P（m，0）（-2≤m≤2）满足要求．求出直线l的斜率不存在和斜率为0时的
| PA |
| PB |
解答：解：（1）设M（xM，yM），∵抛物线C2：y2=4x，∴其准线方程为x=-1，
由抛物线的定义得：xM+1=
，得：xM=
，代入抛物线方程得：yM=
，
∴M(
，
)．
将此点代入椭圆方程，得
+
=1，
又椭圆的半焦距c=1，a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=3．
∴椭圆的方程为：
+
=1；
（2）抛物线的准线与x轴交点E（-1，0），假设存在点P（m，0）（-2≤m≤2）满足要求．
当直线l的斜率不存在时，求得两交点为(-1，
)，(-1，-
)，此时
•
=(-1-m)2-
；
当直线l的斜率为0时，求得两交点为（-2，0），（2，0），此时
•
=(-2-m)(2-m)．
由(-1-m)2-
=(-2-m)(2-m)，解得m=-
．
下面证明P(-
，0)符合要求．
当直线l的斜率为0时，
•
=m2-4=-
．
当直线l的斜率不为0时，设l的方程为x=ny-1，由
得，（3n2+4）y2-6ny-9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
，y1y2=
．
此时
•
=(x1+
)(x2+
)+y1y2=(ny1-1+
)(ny2-1+
)+y1y2
=
(y1+y2)+(n2+1)y1y2+
=
+
=-
．
故存在点P(-
，0)符合要求，对应的定值为-
．
由抛物线的定义得：xM+1=
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴M(
| 2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
将此点代入椭圆方程，得
| 4 |
| 9a2 |
| 8 |
| 3b2 |
又椭圆的半焦距c=1，a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=3．
∴椭圆的方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）抛物线的准线与x轴交点E（-1，0），假设存在点P（m，0）（-2≤m≤2）满足要求．
当直线l的斜率不存在时，求得两交点为(-1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| PA |
| PB |
| 9 |
| 4 |
当直线l的斜率为0时，求得两交点为（-2，0），（2，0），此时
| PA |
| PB |
由(-1-m)2-
| 9 |
| 4 |
| 11 |
| 8 |
下面证明P(-
| 11 |
| 8 |
当直线l的斜率为0时，
| PA |
| PB |
| 135 |
| 64 |
当直线l的斜率不为0时，设l的方程为x=ny-1，由
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
| 6n |
| 3n2+4 |
| -9 |
| 3n2+4 |
此时
| PA |
| PB |
| 11 |
| 8 |
| 11 |
| 8 |
| 11 |
| 8 |
| 11 |
| 8 |
=
| 3n |
| 8 |
| 9 |
| 64 |
| -9(3n2+4) |
| 4(3n2+4) |
| 9 |
| 64 |
| 135 |
| 64 |
故存在点P(-
| 11 |
| 8 |
| 135 |
| 64 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了特值验证法，考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力，是高考试卷中的压轴题．
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