Question

【题目】如图所示，在三棱柱中， 为正方形， 为菱形， .

（1）求证：平面⊥平面；

（2）若是中点，∠是二面角的平面角，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（）连接BC1，可得B1C⊥面ABC1．B1C⊥AB，由AB⊥BB1，得AB⊥面BB1C1C．可得平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（2）由∠ADB是二面角A-CC1-B的平面角，得△C1BC为等边三角形．分别以BA，BB1，BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨设AB=2，则A（2，0，0），C1(0，1， )，C(0，1，)，利用向量法求解．

试题解析：（1）证明：连接BC1，因为BB1C1C为菱形，

所以B1C⊥BC1，又B1C⊥AC1，AC1∩BC1=C1，

所以B1C⊥面ABC1.故B1C⊥AB.

因为AB⊥BB1，且BB1∩BC1，所以AB⊥面BB1C1C.

而AB平面ABB1A1，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；

（2）因为∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，

所以BD⊥CC1，又D是CC1中点，

所以BD=BC1，所以△C1BC为等边三角形.

如图所示，分别以BA，BB1，BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

不妨设AB=2，则A（2，0，0），C1(0，1， )，C(0，1，)，则）.

设是平面ABC的一个法向量，则，即，

取z=1得.

所以

所以直线AC1与平面ABC所成的正弦值为.